Un análisis matemático de la Macroeconomía

Introducción

La macroeconomía basada en el capital (MBC) es una teoría económica muy propia de la Escuela Austríaca de Economía (EAE) que se inicia a finales del siglo XIX con Carl Menger y fue desarrollada por su alumno Eugen von Böhm-Bawerk, y continuada después por su discípulo Ludwig Von Mises y su talentoso seguidor Friedrich A. Von Hayek.

La confrontación de la MBC y la macroeconomía basada en el trabajo (MBT), iniciada por John Maynard Keynes y sus seguidores, constituye la mayor confrontación ideológica del siglo XX y extiende sus ramas al siglo XXI sin dar muestra de extinguirse. Las propuestas contenidas en MBT tienen una descomunal aceptación en el mundo moderno en virtud de la acogida que le ha dado la Social Democracia. Es una teoría que invita al equipo gubernamental a intervenir la economía, otorgándole la responsabilidad del crecimiento económico.

Es interesante advertir que Hayek y Keynes quienes eran amigos, que vivieron las mismas épocas de depresión y de auge económico, que padecieron las dos grandes guerras, hayan llegado a diagnosticar el problema económico de forma diametralmente opuesta y proponer soluciones que se contradicen. No cabe la menor duda que el debate Hayek vs Keynes fue, y lo es ahora, el más sonado debate académico-económico de toda la historia de ésta, la ciencia triste, como llamó Thomas Carlyle a la economía.

Sería casi imposible, y no es el propósito de este artículo, citar y reseñar toda la literatura que se ha escrito, y se escribe hoy, sobre aquel apasionante debate en el que destacados economistas participan con mucho talento y fogosidad.

Los economistas gustan de exponer sus argumentos con el uso de gráficas porque ellas son sugestivas y de rápida comprensión. La MBT tiene su famosa gráfica IS LM, llamado el modelo macroeconómico Hicks – Hansen. La MBC carecía de un modelo gráfico que explicara su funcionamiento, todo su desarrollo había sido diseñado por sus inspiradores con argumentos verbales y una enorme intuición del fenómeno económico. En 1976 Roger W Garrison desarrolló un método gráfico para explicar la teoría MBC y fue consignado en un ensayo que tituló Austrian macroeconomics: a diagramatical exposition. Finalmente Garrison amplió su exposición en un famoso libro titulado Time and money: the macroeconomics of capital structure. En la figura se muestra los tres esquemas ensamblados que usa Garrison en su análisis.

La tradicional macroeconomía del capital hace uso de la función de producción Y=f(K,T) en donde K determina el capital y T el trabajo. Esta visión macroeconómica no distingue entre los diferentes elementos constitutivos del capital y el trabajo, dándoles un carácter de homogeneidad que le impide un análisis detallado de la macroeconomía.

Como una respuesta a aquella visión tradicional, la teoría de la macroeconomía basada en el capital se ocupa de las relaciones profundas que existen entre el ahorro, la inversión, el consumo, la tasa de interés y el carácter temporal de la producción. La importancia de la teoría reside en que explica el crecimiento económico y los ciclos de auge y depresión que son recurrentes en todas las economías de los países.

Quienes han hecho importantes avances en MBC lo han hecho con explicaciones verbales o, como nos la ofrece Garrison, en forma gráfica. Es importante advertir que antes de Garrison, muchos economistas intentaron dar explicaciones gráficas de la formación del capital, como Eugen von Böhm-Bawerk, Friederich von Hayek, Willian Stanley Jevons, por citar a los más connotados.Yo creo que esas maneras de explicar la teoría puede ser mejorada con el uso de herramientas matemáticas sencillas que aportan exactitud y transparencia argumental. Ese es el objetivo del presente artículo.

Primero es necesario hacer algunas advertencias importantes que ambienten la metodología que emplearemos en este trabajo. No es propio de la EAE hacer uso de argumentos matemáticos en sus explicaciones, ello es debido al impropio rechazo que sus fundadores le imprimieron a sus discusiones y al abuso que muchas escuelas de pensamiento económico han hecho de la matemática obscureciendo innecesariamente sus argumentos. Son muchos los cultores de la EAE que se ponen de espaldas de uno de los instrumentos más valiosos del pensamiento humano.

La característica que distingue la MBC de la Escuela Austrica reside en los métodos de compensación (trade off) de sus variables macroeconómicas. Esta metodología se aviene muy bien con la realidad económica que nos advierte del fenómeno de la escasez como principio básico del estudio de la economía. Un recurso o bien que no sea escaso no puede ser considerado un bien económico.

Los cultores de la EAE entienden, y con razón, que los problemas de auge y depresión económica se deben a estímulos monetarios, a un incremento desmedido de la liquidez. En este artículo veremos cómo la causa principal de tales auges y depresiones están más relacionadas con las interrelaciones entre las elasticidades que aparecen en las compensaciones de las variables macroeconómicas, que con los incrementos de liquidez. Mises aseguraba que una economía podía funcionar correctamente con una cantidad constante de dinero. Eso es cierto, y agregamos que también puede funcionar de manera deficiente con una cantidad monetaria constante, acompañada de una funcionalidad deficiente entre las elasticidades de las variables macroeconómicas. Es el objetivo de este artículo mostrar, o mejor demostrar, que eso es así.

Es mi deber advertir que el presente artículo no es propio de una lectura ligera, especialmente para aquellos que no están familiarizados con argumentos matemáticos. Los resultados que se obtienen son bién conocidos desde hace ya mucho tiempo, no obstante la claridad y precisión que el método deductivo que la matemática le imprime hacen merecedora su publicación.

No existen relaciones matemáticas precisas y bien definidas entre ahorro, inversión, consumo, tasa de interés y producción. No existe, por ejemplo, una fórmula matemática que relacione la tasa de interés y la inversión, o la tasa de interés y el consumo, etc, pero es saludable pensar que sí existen tales relaciones aunque nunca lleguemos a conocerlas. Esas relaciones que, en modelos matemáticos, pudiesen ser representadas por curvas complicadas, las podemos aproximar por expresiones lineales que simplifican los análisis. Este será el método que optaremos. No es muy disparatado el método que emplearemos porque como se sugiere en la figura 2, una curva la podemos aproximar a una línea recta. De hecho, la economía se ocupa principalmente de tendencias más que de relaciones exactas.

La base de nuestra argumentación se apoya en los siguientes principios que rigen las relaciones entre las variables macroeconómicas antes mencionadas. Así:

1.Un incremento del ahorro hace descender la tasa de interés.(efecto de oferta y demanda de dinero) Es decir, existe una relación compensatoria entre ellas.

2. Un incremento de la tasa de interés hace descender la inversión. (efecto de oferta y demanda de dinero).

3. El ahorro se compone del consumo y la inversión. Hay otra clase de ahorro, y es aquel que no hace parte del circuito económico; es el que las personas guardan en sus casas; un ahorro voluntario que bajo condiciones propicias puede entrar en circulación.

4. Un incremento de la inversión hace descender el consumo. (ley de preferencia temporal) Esta relación entre inversión y consumo es lo que los economistas llaman la frontera de posibilidades de producción FPP. Un nombre muy desafortunado porque insinúa que existe un planificador central que conoce esa frontera y cómo llegar a ella. J.M. Keynes, promotor del pensamiento centralizador de la economía, nos habla de recursos ociosos como la plaga enemiga del crecimiento económico. No sabremos nunca cuando un recurso es ocioso, sólo el empresario puede vislumbrar su utilidad y la oportunidad de cuando ponerlo en marcha. Una mala gestión empresarial puede llevar a una debacle económica cuando un empresario pone en movimiento un recurso que considera ocioso. El emprendimiento es un arte difícil de dominar.

Cuando el rango de la relación compensatoria (trade off) entre el consumo y la inversión es más amplio en el estado económico X que en el estado Y decimos que la economía se ha expandido. En caso contrario diremos que ha ocurrido una contracción.

5. Finalmente tenemos el triangulo hayekiano que relaciona las etapas de producción, el consumo y la tasa de interés, y que nos dice que el tiempo en economía existe (¡qué descubrimiento!) y que en el proceso productivo de bienes y servicios la etapa N+1 constituye los insumos de la etapa N. Estas etapas terminan cuando esos bienes llegan al consumidor final. Además, también nos permite tener una idea clara de la tasa natural del interés, abriéndole las puertas a la Teoría de la Imputación. Lo anterior constituye una pieza clave en el análisis de la macroeconomía del capital y fue uno del los aportes más significativos de F.A Hayek al estudio de este interesante tema.

Denotaremos con R la tasa de interés, con I la inversión, con A el ahorro, con C el consumo y con P la cadena de producción, que se mide en tiempo, o número de etapas necesarias para la producción de bienes de capital o de consumo. Las relaciones anteriores las modelamos de la siguiente forma,

R + m.A = α (1)

R + n.I = β (2)

A – I – C =0 (3)

C + s.I = γ (4) FPP

en donde m, n, s, α, β, γ son parámetros positivos.

Puesto que α es constante, de la ecuación (1) se deduce que un incremento del ahorro voluntario A, A + ε, implica una disminución de la tasa de interés R en R ─mε, ello corresponde al punto 1) anterior. El mismo argumento aplica para las relaciones 2), 3) y 4) con relación a las ecuaciones (2), (3) y (4) respectivamente. Observemos que la ecuación (4) es la expresión analítica que hemos escogido para caracterizar la frontera de posibilidades de producción FPP

La matriz M del anterior sistema de ecuaciones es

1	m	0	0
1	0	n	0
0	1	-1	-1
0	0	s	1

El determinante de la matriz anterior es d ═ ─ n ─ m(s-1). Supondremos, y es muy importante para nuestro análisis, que d ≠0. Para ello es suficiente y necesario que s≠ (m─n)/m. Esto implica que la matriz M es invertible y por lo tanto el sistema de ecuaciones (1) al (4) tiene una única solución. Es decir, nuestro sistema está acoplado.

Es imprescindible para nuestro análisis que las variables macroeconómicas estén acopladas. Ello significa que cualquier perturbación de una de ellas traiga modificaciones a las otras. No es difícil ver que cuando un sistema, como el anterior, tiene un determinante d=0 todas las variables quedan indeterminadas. Observemos desde ya que el alma de nuestro sistema la proporcionan las relaciones de las elasticidades entre las variables macroeconómicas que mediremos con los parámetros m, n y s

I. El Consumo, La Inversión y La Curva FPP

Primero observemos que de las ecuaciones (1) y (2), al igualar la variable R, obtenemos

mA= α ─ β + nI (5)

y por lo tanto

m(A + ε) = α ─ β + n[I +(m/n)ε]. (6)

La ecuación(6) nos dice que cuando el ahorro se incrementa en una cantidad ε, la Inversión I se incrementa en una cantidad (m/n)ε. Ahora, de la ecuación (3) deducimos que ante un incremento ε del ahorro A, habrá un incremento de I+C en la misma cantidad ε. Por lo tanto de (6) deducimos que el incremento que se refleja en el consumo C será C+(1─ m/n)ε.

Analizaremos los casos siguientes: m>n, m<n y m=n. Cada caso presenta escenarios económicos diferentes.

1) El caso m>n

En este caso (1─ m/n)ε < 0 para todo ε > 0. Por lo tanto C sufre un disminución con el nuevo incremento de liquidez ε. Ahora,puesto que tanto C, como el nuevo consumo C+(1─ m/n)ε y R-mε no pueden ser menores o iguales a cero, concluimos que existe ε > 0 tal que

C+(1─ m/n)ε > 0 y R-mε > 0.

Esto nos lleva a exigir una cota superior para las inyecciones de liquidez al ahorro A. Esto es,

ε< L=Min{nC/(m-n), R/m}. (7)

Por encima de aquella cota el sistema entra en desahorros. Es necesario hacer notar que cuando se presenta una inyección de liquidez ε al sistema, la inversión se incrementa en (m/n)ε, incluso por valores superiores al incremento ε en el ahorro, el consumo habrá de sufrir una caída de (1─ m/n)ε de tal suerte que C+(1─ m/n)ε no caiga por debajo de cero. Es decir, se ceden recursos del consumo a favor de la inversión. Esto hace parte de la visión económica robinsoniana de la que la economía de la que Escuela Austriaca es su seguidora.

Nota: De las ecuaciones (3) y (5) se deduce que (m-n)A+nC=α-β, por lo tanto si m > n, entonces α > β.

Es fácil ver que haciendo uso de la ecuación (4) obtenemos

C+(1─ m/n)ε + s(I+ ε m/n)= C+sI +(1─ m/n)ε+smε/n (8)

= γ + θε,

donde θ ═ 1-m/n + sm/n, y que la sintetizamos en un nuevo sistema de coordenadas como C+sI= γ+θε.

La nueva ecuación (8) constituye la nueva FPP después de la inyección de liquidez ε. La ecuación (8) nos dice que el crecimiento o decrecimiento de la economía depende de que θ sea positivo o negativo respectivamente.

Un cálculo sencillo nos muestra que θ es positivo si s > (m─n)/m y es negativo s<(m─n)/m. Es decir, el crecimiento o decrecimiento depende de las elasticidades, m, n, s que relacionan las variables macroeconómicas, y de que ε satisfaga la desigualdad (7) o la supere, respectivamente.

Conclusión: La expansión o contracción del sistema económico depende, en esencia, de las elasticidades de las variables macroeconómicas. La siguiente gráfica explica la expansión económica después de una inyección ε de liquidez.

En la gráfica anterior mostramos cómo, después de una inyección ε de liquidez, el punto a=(I,C) que se encuentra en la recta C+sI=γ se transforma en el punto b=(I+mε/n , c +(1-m/n)ε) de la recta C+sI=γ+θε. Notemos que el consumo C ha caído una cantidad (1-m/n)ε,no obstante la inversión ha aumentado en una cantidad mε/n. Esto es muy propio de la visión macroeconómica de la EAE.

Veamos ahora un gráfico que describe una contracción económica debido a un desahorro –ε.

En la gráfica anterior mostramos cómo, después de una desinversión –ε, ε>0, de liquidez, el punto a=(I,C) que se encuentra en la recta C+sI=γ se transforma en el punto b=(I-mε/n, c +(m/n)ε-1) de la recta C+sI=γ-θε. Notemos que el consumo C ha subido una cantidad (m/n-1)ε, no obstante la inversión ha caído en una cantidad -mε/n. Esto es muy propio de la visión macroeconómica de la EAE en el caso de contracciones económicas.

No dejemos pasar por alto un hecho notorio. Cuando s < (m─n)/m, habíamos visto que θ < 0 y por lo tanto, cualquiera que sea ε > 0, tendríamos una contracción económica. Pero en el caso en que ε < 0, es decir, en lugar de una inyección de liquidez tenemos un desahorro –ε, el sistema experimentará una expansión económica. En otras palabras, el sistema estaría en una trampa de liquidez que se remediaría quitándole liquidez al sistema.

II. Ejemplo Numérico

Los ejemplos numéricos que vamos a mostrar no son reales, no corresponden a datos conocidos en el mundo de la economía, sólo son unos ejemplos que ilustran el funcionamiento de la teoría macroeconómica propia de la EAE y respaldan nuestro análisis.

Consideremos el siguiente sistema

R + 3A =100

R + 2I = 30

A- C- I = 0

C + 2I = 40,

m = 3, n = 2, s = 2, α = 100, β = 30, γ = 40.

El sistema anterior tiene la siguiente solución, R=10, A=30, C=20, I=10.

Primer ejemplo (expansión)

De acuerdo con la desigualdad (7), se debe cumplir queε< 10/3para que el sistema no entre en desahorro. Para ejemplificar el primer caso en el que la FPP se expande tomemos el caso ε = 2 θ=5/2, θε=5, θε/2=5/2.

La siguiente tabla 1 nos explica la evolución del sistema después de inyectarle al sistema la liquidez ε = 2.

Tabla 1

Variables	Valor actual	Nuevo valor (+ε)	Diferencia	% de crecimiento
A	30	32	2	6,6%
I	10	13	3	30%
C	20	19	-1	-5%
R	10	4	-6	-60%

En este caso se produce una expansión económica. De la tabla anterior inferimos que la inversión que inicialmente era 50% del consumo, después de la inyección monetaria ε = 2 pasa a ser el 68,4% del consumo.

Segundo ejemplo (contracción)

Veamos el caso en el que δ = 16/3. En este caso la desigualdad (7) no se cumple ya que en nuestro ejemplo se debe cumplir que δ < 10/3. Es decir, se produce un desahorro de ε = -2. Tenemos, entonces, una contracción económica. Así:

Tabla 2

Variables	Valor actual	Nuevo valor (-ε)	Diferencia	% de crecimiento
A	30	28	-2	-6,6%
I	10	8	-2	-20%
C	20	21	1	5%
R	10	16	6	60%

De de la tabla 2 anterior observamos que la inversión, que inicialmente era 50% del consumo, ha pasado a ser el 39% del mismo, después de haberse generado un desahorro de ε = -2.

III. La Tasa De Interés y Las Etapas De Producción

El triángulo hayekiano está formado por el tiempo, o las distintas etapas de producción P, en el cateto horizontal, y el consumo C en el cateto vertical, cómo se observa en la Figura 1. La tasa natural de interés R se define como la pendiente de la hipotenusa del triángulo hayekiano. En ese caso tendríamos que R= C/P y constituye el enlace entre la producción, la FPP y el mercado de fondos prestables. Esto es,

P = C/ R. (10)

De la ecuación (5) y puesto que I = A – C, obtenemos

C= (α─β)/n + A(n─m)/n. (11)

De (11) y (10) obtenemos

P = (α─β)/Rn + (A/R)[(n─m)/n]. (12)

Ahora, de la ecuación (1) obtenemos que A/R = α/mR ─ 1/m, que cuando lo remplazamos en (12) obtenemos

P = λ/R + κ, (13)

en donde λ = (αn – βm)/mn y κ = (m─n)/mn.

En la siguiente Figura 5 ponemos los dos casos posibles, λ > 0 y λ < 0, que describen el comportamiento de P. Además supondremos que κ > 0.

La ecuación (13) presenta dos posibilidades según que λ sea positivo o negativo. En el primer caso tenemos una hipérbola en la que las variables P y R se mueven en sentido inverso la una con respecto a la otra, es decir, existe un trade off entre esas dos variables las cuales ambas son siempre positivas y tenemos a k como una cota inferior de la curva. En el segundo caso, en el que λ es negativo, tenemos una hipérbola en la que el trade off se pierde, la curba tiene en k una cota superior y para valores de R inferiores a -λ/k la variable P toma valores negativos.

Para λ> 0 las etapas de producción P siempre tendrán que ser superiores ak, que es una constante que depende de las elasticidades m y n de nuestro sistema. El caso λ < 0 nos presenta una novedosa paradoja en nuestro análisis que los desarrollaremos más adelante. El caso λ=0 sólo nos indica que las etapas de producción son fijas y por lo tanto no se alargan ni se acortan.

El signo de λ depende, entonces, del signo de αn – βm, si es positivo tendremos que λ> 0 y en caso contrario tendremos que λ< 0.

1) El caso λ> 0.

Las ecuaciones (13) y (10) nos permite establecer una relación entre el consumo C y la tasa de interés R, así:

C= k R+λ. (14)

La ecuación (14) nos puede parecer contradictoria, pero no lo es. Vemos en el ejemplo numérico anterior, Tabla 1 y Tabla 2, que, tanto en el caso expansivo como en el contractivo, con un incremento de la liquidez ε, el consumo C como la tasa de interés R se contraen o se expanden respectivamente. Es decir, ante una expansión de la economía, ambas variables se contraen. Y recíprocamente, ante una contracción de la economía, ambas variables se expanden. Además, la ecuación (4) nos dice que consumo e inversión se mueven en sentido contrario y la ecuación (2) nos dice que la inversión se mueve en sentido contrario a la tasa de interés, luego consumo y tasa de interés se mueven en el mismo sentido.

Las ecuaciones (13) y (14) nos dicen que

P = K λ/(C – λ) + K, (15)

que nos indica que el consumo C y las etapas de producción P se mueven en sentido inverso. Cuando el consumo C se acorta, las etapas de producción P se alargan y recíprocamente.

Veamos como es el comportamiento de las etapas de producción P cuando se le inyecta liquidez ε al sistema. Llamemos Pε las etapas de producción después de inyectar al sistema una cantidad ε de liquidez. Si se cumple la desigualdad (7) Tenemos que

Pε = kλ/[C+(1-m/n)ε ─λ] + k

P = K λ/(C – λ) + K. (16)

Observamos en el sistema (16) que cuando ε satisface la desigualdad (7), C+(1-m/n)ε ─λ < C – λ, ésto es, el denominador de Pε es más pequeño que el denominador de P. Por lo tanto Pε > P y las etapas de producción se alargan. En el caso en que la desigualdad (7) no se cumpla, esto es, ε > L=Min{nC/(m-n), R/m}, las etapas de producción P se acortan, debido a que se genera un desahorro -δ. Esto lo representamos con la siguiente Figura 6.

donde δ = (m/n – 1)ε.

Ejemplo numérico de alargamiento de las etapas de producción

Consideremos el primer ejemplo numérico de la sección anterior, Tabla 1, para ilustrar el alargamiento de las etapas de producción que hemos establecido en el sistema (16).

Tenemos entonces que: C= 20, ε = 2, λ= 110/6, K= 1/6, m = 3, n=2.

Un cálculo nos dice que Pε = 4,749 y P = 2.Esto nos indica que cuando el consumo C decrece en una unidad, las etapas de producción P se alargan 2,749. En otras palabras, cuando el consumo se reduce 5%, las etapas de producción se alargan 137%.

2) El caso λ < 0

El caso λ< 0 merece un análisis especial. La función de producción

P = λ/R + k es ahora una curva creciente, la cual es positiva para R > -λ/k, negativa para R < -λ/k y P = 0 en R = -λ/k. Además observamos que la curva P = λ/R + k está acotada superiormente por la constante k, como se indica en la figura. Por lo tanto las etapas de producción aumentan a medida que la tasa de interés también aumenta y no podrán rebasar la constante k , contrario a lo que habíamos visto en el caso λ > 0 en el que la tasa de interés R y las etapas de producción P se mueven en sentido contrario una de la otra (trade off) y las etapas de producción no tienen cota superior. También, cuando R fluctúa en el intervalo (0, -λ/k) tanto las etapas de producción P como el consumo C se tornan negativos, es decir, el sistema entra en desahorro.

Lo realmente curioso lo observamos cuando se le inyecta al sistema liquidez ε que satisface la desigualdad (7). En este caso el sistema experimenta una expansión económica y no obstante las etapas de producción P experimentan un acortamiento. Ello se deduce de las ecuaciones (16) cuando el parámetro λ es negativo. Puede ser de utilidad para el empresario conocer cuando las etapas de producción pueden ser alargadas y cuando deben ser acortadas, puesto que en caso contrario el empresario entra en pérdidas. Veámoslo en el siguiente ejemplo.

Consideremos el sistem (1) a (4) en el que m = 3, n = 2, α = 14, β = 10, s = 3/4, γ = 7/4. En este caso λ= -1/3.La solución al sistema es: A = 2, I = 1, C = 1, R = 8.

El ε que podemos escoger debe satisfacer la desigualdad (7). Esto es, para el caso que nos ocupa, ε debe estar en el intervalo (0,2). Por simplicidad, tomemos el caso ε =1. De la ecuación (8) vemos que θ = 7/18. De estos dos valores deducimos que nuestro sistema experimenta una expansión económica. Recordemos que con una inyección de liquidez ε el nuevo consumo será C + (1-m/n)ε, la nueva inversión será I+(m/n)ε y la nueva tasa de interés será R- mε. Entonces tenemos,

Tabla 3

Variables	Valor actual	Nuevo valor (+ε)	Diferencia	% de crecimiento
A	2	3	1	50%
I	1	5/2	3/2	150%
C	1	1/2	-1/2	-50%
R	8	5	-3	-37.5%

Si usamos la fórmula (10) para calcular las etapas de producción P encontramos que P=1/8 y P_ε+ = 1/10,Las etapas de producción se han acortado en 20%.

IV Los Casos n=m y n>m

Estos casos nos exige un tratamiento especial puesto que en ellos el método del trade off desaparece. Son casos propios del pensamiento keinesiano, por lo tanto no tenemos una FPP sino que tenemos una relación de proporción directa entre consumo e inversión. Por lo tanto no podemos hacer uso de la ecuación (4) y sólo nos debemos limitar a las ecuaciones (1), (2) y (3). La dificultad que tenemos, entonces, radica en que el sistema alberga cuatro incógnitas y solo consta de tres ecuaciones y por lo tanto no tiene solución. Una manera de resolver este caso es asignarle, arbitrariamente, un valor a una variable, por ejemplo a la tasa de interés R. Entonces tendremos: C=(α–R)/m +(R-β)/n, I=(β-R)/n y A=(α-R)/m.

La única ecuación que relaciona el consumo C con la inversión I es la que se desprende de las ecuaciones (3) y (5), ésto es:

C = (α-β)/m + {(n-m)/m}I. (17)

1) Supongamos que n = m.

Entonces, para cualquier inyección de liquidez ε > 0,

C+(1─ m/n)ε = (α–β)/m + {(n-m)/m}[I+ (m/n)ε ], (18)

que se transforma en C = (α-β)/m. Ahora, como n=m, la ecuación (16) nos dice que para todo ε >0, Pε= 0/0. Es decir, el concepto de crecimiento y decrecimiento de etapas de producción queda indeterminado. Además, toda la inyección de liquidez ε va dirigida hacia la inversión provocando con ello una situación perturbadora puesto que los empresarios inician proyectos de inversión que en un futuro no se traducen en un incremento en el consumo. La empresas se convierten en empresas zombis que pueden funcionar debido a una tasa de interés arbitrariamente baja sin que sus productos puedan ser completamente consumidos.

2) Supongamos que n > m.

En este caso la ecuación (17) nos indica que el consumo C y la inversión I están en relación directa: el consumo C es directamente proporcional a la inversión I (más una constante). Ahora, un cálculo muy sencillo nos muestra que para todo ε > 0, la ecuación (18) y (17) son iguales: el término (1─ m/n)ε de la izquierda de la ecuación (18) y [(n-m)/m](m/n)ε de la derecha de la ecuación son los mismos. Esto non dice que las inyecciones ε > 0 de liquidez no se traducen en una expansión real de la economía. También es importante advertir que los incrementos de liquidez ε sólo estarán limitados cuando la tasa de interés se torne negativa. Esto es: con una inyección de liquidez ε>0, la inversión I se incrementa en εm/n. De la ecuación (2) se deduce que ε< R/m. Por encima de esta cota el sistema entra en desahorros. Ahora, de la ecuación (16) es fácil ver que

P-Pε = kλ{(1-m/n)ε/[(C-λ)²+(C-λ)(1-m/n)ε]}. (19)

De la ecuación (19) se deducen dos casos: el primero es cuando λ< 0,entonces, y en virtud de que en el caso que nos ocupa k < 0, tanto el numerador como el denominador de (19) son positivos, luego P > Pε, cualquiera que sea ε > 0. El segundo caso es cuando λ > 0.En este caso es fácil ver que el denominador del miembro derecho de la ecuación (19) es positivo cuando ε < (λ- C)/(1-m/n). Por lo tanto, todo el miembro derecho de (19) es negativo, ésto es: P < Pε. Y cuando ε >(λ- C)/(1-m/n), tanto el numerador como el denominador de (19) son negativos, por lo tanto la fracción es positiva y en ese caso P > Pε.

Las consecuencias que se derivan de aquello son acortamientos de las etapas de producción y por lo tanto el empresario sufre una desinformación: el exceso de liquidez ε le dice que puede iniciar proyectos productivos con etapas de producción muy largas. Y por el otro lado la teoría le dice que P > Pε y que las etapas deben ser más cortas con respecto al estado inicial.

Para que el argumento quede completo nos falta probar que λ > C . Para probarlo veamos que

λ = (αn – βm)/mn > (α–β)/m + {(n-m)/m}I = C.

Después de simplificarla encontramos que es equivalente a la desigualdad I<β/n. Ahora, en la ecuación (2) vemos que R/n +I= β/n, y como suponemos que R/n >0 concluímos que I<β/n. Llegamos, entonces, a que λ > C.

Los tres casos los resumimos en la siguiente figura 7:

V. Los Ciclos Económicos

Para estudiar el fenómeno de ciclos económicos de auge y depresión es importante tener en cuenta que la ecuación P = C/R nos indica que las etapas de producción P tienen un tiempo, o una longitud, bien definida y no pueden ser alargadas o recortadas arbitrariamente sin que el empresario sufra pérdidas.

La pregunta fundamental es ¿qué sucede cuando el ahorro A es incrementado en una cantidad ε > L=Min{nC/(m-n), R/m} y por una fuente externa: por ejemplo las autoridades monetarias, ya sea imprimiendo billetes o con líneas de crédito? Mises llamaba a ese ε crédito circulatorio, o como se usa hoy en la literatura crédito creado, nombre que le asignó Fritz Machlup.

Antes de continuar es pertinente advertir que el incremento ε del ahorro A debe estar dentro de los límites monetarios del momento que haya permitido su creación, es decir, ε debe cumplir la ecuación (7). Pero si por lo contrario se presenta una inyección monetaria de crédito creado ε superior a la cota impuesta por la desigualdad (7), el sistema macroeconómico entra en un estado artificial. Es decir, el auge económico es ilusorio y traerá malas consecuencia futuras.

La desigualdad (7) es la clave para entender los ciclos económicos. Los gobiernos comienzan a inyectarle lentamente liquidez ε al sistema y, cómo habíamos visto, el sistema económico comienza a expandirse, entra en fase de auge. Pero cuando la liquidez ε supera la cota L=Min{nC/(m-n), R/m}la economía sufre un desplome, es decir, el sistema entra en fase recesiva.

VI. La Valoración del Salario.

La valoración del salario, o capacidad de compra del mismo, se puede definir como

V= I/C. (20)

En la medida en que V crezca, el salario real de la población habrá ganado capacidad de compra ya que las personas pueden destinar más dinero a la inversión, cediéndole a ésta recursos provenientes del consumo. Los recursos destinados al consumo priman sobre la inversión porque invertir es una señal de progreso y riqueza y las personas priorizan el consumo antes de aventurarse en inversiones que siempre estarán cargadas de incertidumbres. En el caso de una expansión económica, como lo veíamos en la ecuación (8), la compensación (trade off) entre consumo e inversión tiene un rango más amplio que el que tenemos en la ecuación (4). Ello indica que las posibilidades de inversión y consumo se incrementen cuando al sistema se le ha inyectado liquidez.

Supongamos que el sistema ha tenido una expansión económica debido a una inyección exitosa de liquidez ε > 0, es decir ε satisface la desigualdad (7). Denotemos con V_ε la nueva valoración salarial. Es fácil ver que V_ε > V, Es decir, es fácil ver que cuando m > n

I/C < [I+mε/n]/[C+(1-m/n)ε] (21)

En efecto, puesto que m>n, C+(1-m/n)ε < C, cualquiera que sea ε > 0, y también, I+mε/n > I, lo que nos indica que el miembro derecho de la desigualdad (21) tiene que ser mayor que el miembro izquierdo. Por lo tanto V_ε > V, que significa un incremento del salario real de la población.

Para el caso en que el sistema sufra una contracción debida a un desahorro –ε, con ε >0, tenemos que V_ε < V. Para verlo basta con cambiar ε por -ε en la desigualdad (21) y obtenemos

I/C > [I-mε/n]/[C+(m/n -1)ε]. (22)

Es decir, hemos probado que V_ε < V. Esto significa que el salario real de la población ha decrecido.

Si usamos el ejemplo numérico de la sección II, Tabla 1, podemos corroborar lo que afirmamos. En el caso de la expansión económica observamos que V= I/C = 0,5. Ahora, después de inyectarle una liquidez ε=2, vemos que V_ε = 0,68. Es decir, el salario real se incrementó en 36,8%. Ahora, en el caso de una contracción económica con un desahorro de ε= -2, Tabla 2, obtenemos que V= 0,5 y V_ε = 0,38. Es decir el salario real de la población ha caído -23.8%.

VII. La Versión Austríaca De La Curva de Phillips

En 1958 A.W.H. Phillips publicó un artículo en el que recopila datos de casi 100 años en los que relaciona el desempleo con la inflación. En esa publicación se muestra un trade off entre aquellas dos variables en la que alta inflación se correspondía con bajo desempleo. El resultado parecía ser tan contundente que se creía que era parte de una teoría económica que lo respaldaba. No obstante en la década del 70 del siglo pasado se produjo en Estados Unidos el sonado caso de alta inflación y alto desempleo y trajo con ello el derrumbe de lo que se creía ser una “teoría”. Para una discusión detallada recomiendo la lectura del libro de A. Ravier en [9]. Veamos cómo nuestro modelo nos puede dar luces sobre este apasionante tema.

Es común entre economistas llamar inflación al aumento de los precios de bienes y servicios, es decir, al deterioro de los salarios reales. Es también reconocido que dicho deterioro se debe, no únicamente, a un incremento de la liquidez ε en el sistema económico.

En la ecuación (20) definimos la valoración V del salario como una medida de su capacidad de compra, es decir el salario real. Es claro, entonces, que un deterioro de V se puede interpretar como inflación y un incremento de V se considera deflación.

Vimos que para ε< L=Min{nC/(m-n), R/m} se satisface la desigualdad (21) que nos indica que V_ε > V. Y en la misma forma, cuando ε > L se produce un desahorro y la desigualdad (20) nos dice que para m > n se cumple que V_ε < V.

De otra parte, Las etapas de producción P nos brinda una medida del nivel de empleo: un alargamiento de las etapas de producción nos indica un aumento de los niveles de empleo, y recíprocamente, un acortamiento de las etapas de producción las miramos como un aumento del desempleo. Ahora, en la ecuación (16) vimos cómo para ε< L se tiene que P_ε > P y para ε >L se cumple que P_ε< P. Juntemos ahora lo anterior sobre P y V. De las identidades (10) y (17) obtenemos a que PV = I/R. Finalmente llegamos a que con una inyección de liquidez ε,

P_ε.V_ε = (I+εm/n)/(R-mε). (23)

La ecuación (23) nos dice que P_ε .V_ε crece o decrece dependiendo de que ε< L o ε> L respectivamente. Recordemos que cuando ε> L, el sistema sufre un desahorro y ε toma valores negativos. La ecuación (23) nos permite entonces construir una curva de Phillips que la resumimos en la siguiente Figura 8 y que coincide con la curva de Phillips austríaca obtenida por A. Ravier en [16]

VIII El Significado de m>n, m<n, m=n

Las relaciones entre estas tres elasticidades tienen un significado en términos de las variables macroeconómicas. De las ecuaciones (1) (2) sabemos que m=(α-R)/A y n=(β-R)/I.

Consideremos la función F(V)= (β-α)V+β, en donde V=I/C es la valoración del salario. Un cálculo sencillo nos dice que m>n equivale a que R>F(V), también m<n equivale a R<F(V) y m=n equivale a R=F(V). Es fácil ver que α > β cuando m>n y cuando m=n. El caso m<n no garantiza que α > β.

La recta F(V) tiene siempre pendiente negativa para los casos m>n y m=n. En el caso m<n se puede exhibir ejemplos en los que β>α y por lo tanto F(V) es una recta de pendiente positiva que tiene como mínimo valor a β. Como los valores de R no pueden sobrepasar a β, nos limitaremos al caso β< α. Por lo tanto tenemos que m>n si y sólo si β>R>F(V), m=n si y sólo si R=F(V) y m<n si y sólo si 0<R<F(V).

IX Referencias

[1] Bohm Bawerk. E.1890 Capital and Interest, a critical History of economical theory.London Macmillan and co, New York.

[2] Bagus P (2012). Austrian business cycle theory: are 100 percent reserves sufficient to prevent a business cycle?. Revista Procesos de Mercado, 9(1), 389-410.

[3] Cachanosky N & Padilla A. (2016) A Mathematical Version of Garrison’s Model. Quarterly Journal of Austrian Economics, 19(3), 225-247.

[4] Castro-Olivo M (2022). La macroeconomía basada en el capital: sus principales contribuciones, extensiones y desarrollos Semestre Económico 11(2), 49–75.

[5] H.De Soto. J. (2020 [1998]) Dinero, Crédito Bancario y Ciclos Económicos. Madrid: Unión Editorial.

[6] Garrison, Roger W,2010 Austrian macroeconomics: a diagramatical exposition The Ludwig Von Mises Institute, Auburn, Alabama.

[7] Garrison, Roger W, 2001Tiempo y Dinero. La macroeconomía de la estructura del capital. Unión Editorial.

[8] Hayek. A. Friedrich 1931 Prices and production and other Works Mises Institute, edited by Joseph T. Salerno.

[9] Hayek. A. Friedrich, 2020.Teoría Pura del Capital, Unión Editorial, segunda edición.

[11] Machlup. Fritz. 1940 Stock Market, Credit and Capital Formation Mises Institute, version pdf.

[12] Mises V. L. (2012 [1912]) La Teoría del dinero y del crédito. Madrid: Unión Editorial.

[13] Neira, A. Miguel, 2004, A Una guía para el estudio de la macroeconomía del capital.Procesos de Mercado: Revista Europea de Economía Política, vol. I, n.º 1, Primavera pp. 113 a 186.

[14] Ravier.A. Macro del capital http://www.adrianravier.com/macro-del-capital.html

[15] Ravier A (2011) Rethinking capital based macroeconomics. The Quarterly Journal of Austrian Economics. Quarterly Journal of Austrian Economics, 14(3), 347-375.

[16] Ravier, Adrián, 2010, En Busca Del Pleno Empleo, Unión Editorial, Nueva Biblioteca de la Libertad 41.

[17] Rothbard. Murray, 2004, El Hombre, La Economía Y El Estado, ESEADE, 1^a ed, Buenos Aires, traducción de Norberto Sedaca.

Mario Zuluaga Uribe

Departamento de Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia, Bogotá

Pensionado

mzuluagau@unal.edu.co